Объем

Объем (далее О), одна из основных величин, связанных с геометрическими телами. В простейших случаях измеряется числом умещающихся в теле единичных кубов, т. е. кубов с ребром, равным единице длины.   Задача вычисления О простейших тел, идущая от практических потребностей, была одним из стимулов развития геометрии. Математика Древнего Востока (Вавилония, Египет) располагала рядом правил (большей частью эмпирических) для вычисления О тел, с которыми чаще всего приходилось встречаться на практике (например, призматических брусьев, пирамид полных и усеченных, цилиндров). Среди формул О были и неточные, дававшие не слишком заметную процентную ошибку лишь в пределах употребительных линейных размеров тела. Греческая математика последних столетий до нашей эры освободила теорию вычисления О от приближенных эмпирических правил. В "Началах" Евклида и в сочинениях Архимеда имеются только точные правила для вычисления О многогранников и некоторых круглых тел (цилиндра, конуса, шара и их частей). При этом уже в учении об О многогранников греческой математики должны были преодолеть значительные трудности, существенно отличающие этот отдел геометрии от родственного ему отдела о площадях многоугольников. Источник различия, как выяснилось лишь в начале 20 в., состоит в следующем: в то время как всякий многоугольник можно посредством надлежащих прямолинейных разрезов и перекладывания полученных частей "перекроить" в квадрат, аналогичное преобразование (посредством плоских разрезов) произвольного многогранника в куб оказывается, вообще говоря, невозможным (теорема Дена, 1901). Отсюда становится ясным, почему Евклид уже в случае треугольной пирамиды был вынужден прибегнуть к бесконечному процессу последовательных приближений, пользуясь при доказательстве исчерпывания методом. Бесконечный процесс лежит и в основе современной трактовки измерения О, сводящийся к следующему. Рассматриваются всевозможные многогранники, вписанные в тело К, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела К. Вычисление О многогранника сводится к вычислению объемов составляющих его тетраэдров (треугольных пирамид). Пусть {i} — числовое множество объемов, вписанных в тело многогранников, a {d} — числовое множество описанных вокруг тела К многогранников. Множество {i} ограничено сверху (объемом любого описанного многогранника), а множество {d} ограничено снизу (например, числом нуль). Наименьшее из чисел, ограничивающее сверху множество {i}, называется нижним объемом тела К; а наибольшее из чисел, ограничивающее снизу множество {d}, называется верхним объемом  тела К. Если верхний объем  тела К совпадает с его нижним объемом , то число =   =  называется объемом тела К, а само тело — кубируемым телом. Для того чтобы тело было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа e можно было указать такой описанный вокруг тела многогранник и такой вписанный в тело многогранник, разность d — i объемов которых была бы меньше e.   Аналитически О может быть выражен с помощью кратных интегралов. Пусть тело К (рис. 1) ограничено цилиндрической поверхностью с параллельными оси Oz образующими, квадрируемой областью М плоскости Оху и поверхностью z = f (x, у), которую любая параллель к образующей цилиндра пересекает в одной и только в одной точке. О такого тела может быть вычислен с помощью двойного интеграла .   О тела, ограниченного замкнутой поверхностью, которая встречается с параллелью к оси Oz не более чем в двух точках, может быть вычислен как разность О двух тел, подобных предшествующему. О тела может быть выражен в виде тройного интеграла ,   где интегрирование распространяется на часть пространства, занятую телом. Иногда удобно вычислять О тел через его поперечные сечения. Пусть тело (рис.2), содержащееся между плоскостями z = а и z = b (b > а), рассекается плоскостями, перпендикулярными оси Oz. Если все сечения тела квадрируемы и площадь сечения — непрерывная функция от z, то О тела может быть выражен простым интегралом . (1)   Исторически происходило так, что задолго до создания интегрального исчисления операция интегрирования фактически применялась (в различных геометрических формах) к вычислению О простейших тел (пирамиды, шара, некоторых тел вращения), чем и была подготовлена почва для оформления этого исчисления в 17—18 вв. В частности, формулу (1) содержал в зародыше т. н. Кавальери принцип, сохраняющий свое значение для школьного преподавания. В элементарном преподавании полезной оказывается также Симпсона формула, соответствующая тому случаю, когда в (1) функция (z) является многочленом не выше 3-й степени.   Об обобщениях понятия "О" см. в ст. Мера множества.   Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1—2, М., 1970; Лебег А., Об измерении величин, пер. с франц., 2 изд., М., 1960.