Большая Советская Энциклопедия.




Версия для мобильных телефонов на wap.oval.ru


Реклама


Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Начала Евклида

"Начала" Евклида (далее Н) (греч. Stoichéia, буквально — азбука; переносное значение — основные начала), научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. "Н." Е. не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в "Н." Е. не излагается теория конических сечений, которая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.

  "Н." Е. построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства (см. Дедукция). Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов (например, точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (например, равностороннего треугольника) путем их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, например "что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию" (1 постулат); "И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг" ( постулат). Особое место среди постулатов занимает постулат (аксиома о параллельных): "И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых". Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из др. основных положений геометрии. Попытки доказать постулат продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского, построившего первую систему неевклидовой геометрии, в которой этот постулат не выполняется (см. Лобачевского геометрия). За постулатами в "Н." Е. приводятся аксиомы — предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Например: "Равные одному и тому же равны и между собой" (1-я аксиома); "И целое больше части" (8-я аксиома).

  С современной точки зрения система аксиом и постулатов "Н." Е. недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические недостатки построения "Н." Е. полностью выяснились лишь в конце 19 в. после работ Д. Гильберта (см. Евклидова геометрия). До этого на протяжении более 2 тыс. лет "Н." Е. служили образцом научной строгости; по этой книге в полном либо в сокращенном и переработанном виде изучали геометрию.

  "Н." Е. состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В книге рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга Пифагора теоремой. В книге излагается так называемая геометрическая алгебра, т. е. строится геометрический аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраическая символика в "Н." Е. отсутствует). В книге рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й половине 5 в. до н. э.), в книге — правильные многоугольники. В книге дается общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским; ее можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга ) и метода исчерпывания (книга ), также восходящих к Евдоксу. В книгах —IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя (Евклида алгоритме). В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел. В книге Х дается классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты книги Х применяются в книге XIII для нахождения длин ребер правильных многогранников. Значительная часть книг Х и XIII (вероятно и ) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются основы стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объемов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греческими математиками к "Н." Е. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом "Н." Е.

  "Н." Е. получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и др. ученые опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. До нашего времени античный текст "Н." Е. не дошел (древнейшая из сохранившихся копий относится ко 2-й половине 9 в.). В конце 8 в. — начале 9 в. появляются переводы "Н." Е. на арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского Ателхардом Батским в 1-й четверти 12 в. Старинные списки отличаются существенными разночтениями; подлинный текст "Н." Е. точно не восстановлен. Первое печатное издание "Н." Е. в переводе Дж. Кампано на латинский язык появилось в Венеции в 1482 с чертежами на полях книги (перевод был выполнен около 1250—1260; Кампано использовал как арабские источники, так и перевод Ателхарда Батского). Наилучшим в настоящее время считается издание И. Гейберга ("Euclidis Elementa", v. 1—5, Lipsiae, 1883—88), в котором приводится как греч. текст, так и его лат. перевод. На русском языке "Н." Е. издавались многократно начиная с 18 в. Лучшее издание — "Начала Евклида", пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, т. 1—3, 1948—50.

  Лит.: История математики с древнейших времен до начала нового времени, т. 1, М., 1970.

  И. Г. Башмакова, А. И. Маркушевич.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 27.11.2014 23:29:20

23:03 Сечин предупредил о грядущем переделе на рынке нефти
22:37 СКР возбудил дело по факту нападения на журналистку LifeNews в Киеве
22:17 «Яндекс.Браузер» скрыл панели на сайтах
21:52 Сердюкова вызвали в суд по делу о хищениях из музея
21:52 «Краснодар» потерял шансы на выход в 1/16 финала Лиги Европы
21:28 Посетители зоопарка в Калининграде довели акулу до нервного срыва
21:05 Московское «Динамо» гарантировало себе победу в группе в Лиге Европы
20:41 Проходящего по делу о гибели 49 украинских военных генерала отпустили под залог
19:32 Рубль подешевел к доллару и евро на фоне решения ОПЕК
18:15 ОПЕК оставила квоты на добычу нефти без изменений
17:18 Рада утвердила Яценюка премьер-министром Украины
15:43 ЕС расширил санкции против ополченцев Донбасса
15:36 Железнодорожные ракетные комплексы создадут к 2020 году