Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Многообразие

Многообразие (далее М) математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. e. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п. и поверхности без самопересечений, краев и т. п.).

  Примером одномерного М могут служить прямая, парабола, окружность, эллипс, вообще любая линия, у каждой точки которой существует окрестность, являющаяся взаимно однозначным и непрерывным (или, как говорят в топологии, гомеоморфным) образом интервала (внутренней части отрезка прямой). Интервал сам является одномерным М, отрезок же не является М (так как концы его не имеют окрестностей указанного вида).

  Примером двумерного М может служить любая область на плоскости (например, внутренность круга x2 + y2 < r2), сама плоскость, параболоид, сфера, эллипсоид, тор и т. п. Двумерные М характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности круга. Это требование исключает, например, из числа двумерных М коническую поверхность (ее вершина, в которой сходятся две ее полости, не имеет требуемого вида окрестности). Однако выделяют специальный класс объектов, которые не удовлетворяют этому требованию, - т. н. многообразия с краем (например, замкнутый круг x2 + y2 £ r2).

  Примером трехмерного М может служить обычное евклидово пространство, а также любое открытое множество в евклидовом пространстве. Трехмерные М характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности шара.

  М разделяются на замкнутые и открытые (определение см. ниже). В случае одного измерения каждое замкнутое М гомеоморфно окружности, а каждое открытое - прямой (на рис. 1 изображены одномерные М и окрестности точки Р на каждом из них). В случае двух измерений уже замкнутые М довольно разнообразны. Они распадаются на бесконечное число топологических типов: сфера - поверхность рода 0 (рис. 2, а), тор - поверхность рода 1 (рис. 2, б), "крендель" - поверхность рода 2 (рис. 2, в), вообще "сфера с n ручками" - поверхность рода n (на рис. 2, г изображена такая поверхность при n = 3). Этими примерами исчерпываются все топологические типы замкнутых двумерных ориентируемых М (см. также Ориентируемая поверхность). Существует еще бесконечное число замкнутых двумерных неориентируемых М - односторонних поверхностей, например проективная плоскость, т. н. односторонний тор (Клейна поверхность). Имеется и классификация открытых двумерных М Полная классификация М трех измерений не найдена (1974) (даже для случая замкнутых М).

  Мм n измерений (или n-мерным многообразием) называется всякое хаусдорфово топологическое пространство, обладающее следующим свойством: каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную внутренности n-мерного шара, и все пространство может быть представлено в виде суммы конечного или бесконечного (счетного) множества таких окрестностей. М называется замкнутым, если оно компактно (см. Компактность), в противном случае - открытым. Иногда к определению М прибавляют еще требование его связности: каждые две точки М могут быть в нем соединены непрерывной дугой.

  Введение в математику понятия М любого (натурального) числа измерений n было вызвано весьма разнообразными потребностями геометрии, математического анализа, механики и физики. Важность достаточной широты понимания М как топологического пространства основана на том, что точками так определенных М могут быть объекты любой природы, например прямые, сферы, матрицы и т. д.

  При надлежащем добавлении требований к определению М устанавливается понятие гладкого, или дифференцируемого, многообразия. На гладком М имеется возможность рассматривать дифференцируемые функции и дифференцируемые отображения в себя или в другие гладкие М Гладкие М имеют особенно большое значение в современной математике, поскольку именно они наиболее широко используются в приложениях и смежных областях (например, конфигурационные пространства и фазовые пространства в механике и физике). На гладких М можно ввести метрику, превратив его в риманово пространство. Это позволяет строить дифференциальную геометрию на М Например, введя некоторым образом метрику в конфигурационном пространстве механической системы, можно истолковать траектории движения как геодезические линии в этом пространстве (см. Наименьшего действия принцип). М, для элементов которого определено (дифференцируемое) умножение, превращающее М в группу, называется группой Ли (см. Непрерывная группа).

  Понятие М играет большую роль в теории алгебраических функций, непрерывных групп и т. д. Во всех этих приложениях существенны свойства М, не изменяющиеся при топологических преобразованиях, - т. н. топологические свойства. К ним относятся, например, ориентируемость или неориентируемость М (см. Ориентация). Изучение этих свойств является одной из важнейших задач топологии.

  Лит.: Александров П. С. и Ефремович В. А., Очерк основных понятий топологии, М - Л., 1936; Александров П. С., Комбинаторная топология, М - Л., 1947; Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М, 1967.

  Н. В. Ефимов.



Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 28.03.2024 18:24:07