|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Линейное пространство | Линейное пространство (далее Л), тоже, что векторное пространство. В функциональном анализе рассматриваются главным образом бесконечномерные пространства. Примером бесконечномерного Л может служить пространство всех многочленов (с вещественными или комплексными коэффициентами) при обычном определении сложения и умножения на числа. Одним из первых примеров бесконечного Л были гильбертово пространство и пространство С (а, b) непрерывных функций, заданных на отрезке (а, b). Эти пространства являются нормированными, т. е. такими Л, в которых введена норма элемента х — неотрицательное число  , обращающееся в нуль лишь при х = 0 и обладающее свойствами  и  (неравенство треугольника). Число  называют расстоянием между элементами х и у (см. также Метрическое пространство). В нормированном Л вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности функционала аналогично тому, как это делается в трехмерном пространстве.
В конечномерном пространстве различные нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах нормы могут быть существенно различны. Например, при решении задачи П. Л. Чебышева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен (k — 1)-й степени k-i(t), чтобы
 
имел наименьшее значение. Вводя в пространство С(0,1) норму формулой
 =  
эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти многочлен k-i(t), расстояние которого от функции t* было бы наименьшим. При рассмотрении же многочленов, ортогональных с весом p(t) (см. Ортогональная система функций), естественно рассматривать норму, определенную формулой
 ,
и решать задачу о наилучшем приближении в смысле этой нормы. Нормы  и  существенно различны, так как, например, последовательность функций
по первой норме расходится, а по второй норме при p(t) = 1 сходится к функции
 .
Следует отметить, что хотя все функции xn(t) были непрерывны, функция x(t) разрывна. Это связано с тем, что пространство непрерывных функций неполно относительно нормы  . При этом нормированное Л называется полным, если для любой последовательности {xn} его элементов, удовлетворяющих условию
 ,
существует в Л такой элемент х, что данная последовательность сходится к нему, т. е.
 ,
Если Л неполно, то к нему можно присоединить новые элементы (пополнить его) так, что оно станет полным. Например, пополняя пространство непрерывных функций, взятое с нормой  , получают гильбертово пространство L2p. Полные нормированные Л называется банаховыми, или В-пространствами, — по имени изучившего их основные свойства С. Банаха.
Обобщением понятия -пространства является понятие топологического Л Так, называют множество Е, если: 1) оно представляет собой Л, 2) оно является топологическим пространством, 3) операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. К числу топологического Л относятся все нормированные пространства. А. Н. Колмогоров установил (1934) необходимые и достаточные условия нормируемости топологического Л
Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965. |
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 22.12.2024 11:27:23
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
