|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Кривизна | Кривизна (далее К) (матем.), величина, характеризующая отклонение кривой (поверхности) от прямой (плоскости). Отклонение дуги MN кривой L от касательной МР в точке М можно охарактеризовать с помощью т. н. средней кривизны kcp этой дуги, равной отношению величины ее угла между касательными в точках М и к длине Ds дуги MN:
 .
Для дуги окружности средняя кривизна равна обратной величине радиуса этой окружности и, т. о., наглядно характеризует степень искривленности окружности — с уменьшением радиуса увеличивается искривленность дуги.
Предельное значение средней кривизны при стремлении точки кривой к точке М, т. е. при Ds®0, называется кривизной k кривой L в точке М:
 .
Величина R, обратная кривизне, обычно называется радиусом кривизны кривой L в точке М.
Если кривая L является графиком функции у = f (x), то кривизна k этой кривой может быть вычислена по формуле
 .
К k кривой L представляет собой, вообще говоря, функцию длины дуги s, отсчитываемой от некоторой точки М этой кривой. Если для двух плоских кривых L1 и L2 К как функции длины дуги одинаковы, то кривые L1 и L2 конгруэнтны — они могут быть совмещены движением. Поэтому задание К плоской кривой как функции длины дуги обычно называется натуральным (внутренним) уравнением этой кривой.
Для характеристики отклонения пространственной кривой L от плоскости вводят понятие т. н. кручения, которое иногда называют второй К Кручение s в точке М кривой определяется как предел отношения угла b между соприкасающимися плоскостями к кривой в точках М и к длине Ds дуги MN при стремлении точки к М:
 .
При этом угол b считается положительным, если поворот соприкасающейся плоскости в при стремлении к М происходит против часовой стрелки при наблюдении из точки М. К и кручение, заданные как функции длины дуги, определяют кривую L с точностью до положения в пространстве.
Исследование отклонения поверхности от плоскости может быть проведено следующим образом. Через нормаль в данной точке М поверхности проводят всевозможные плоскости. Сечения поверхности этими плоскостями называют нормальными сечениями, а кривизны нормальных сечений в точке М — нормальными кривизнами поверхности в этой точке. Максимальная и минимальная из нормальных кривизн в данной точке М именуются главными кривизнами. Если k1 и к2 — главные кривизны, то величины =k1×k2 и Н = 1/ 2(k1 + k2) называют соответственно полной кривизной (или гауссовой кривизной) и средней кривизной поверхности в точке М. Эти К поверхности определяют нормальные К, поэтому могут служить характеристикой отклонения поверхности от плоскости. В частности, если К = 0 и Н = 0 во всех точках поверхности, то поверхность представляет собой плоскость.
Полная К не меняется при изгибаниях поверхности (деформациях поверхности, не меняющих длин линий на ней). Если, например, полная К равна нулю во всех точках поверхности, то каждый достаточно малый ее кусок может быть изогнут на плоскость. Полная К на поверхности без обращения к объемлющему пространству составляет объект т. н. внутренней геометрии поверхности. Средняя К связана с внешней формой поверхности.
Понятие К обобщается на объекты более общей природы. Например, понятие К возникает в т. н. римановых пространствах, представляя собой меру отклонения этих пространств от евклидовых.
Лит.: Бляшке В., Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна, пер. с нем., т.1, М.— Л., 1935; Рашевский П. К, Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969.
Э. Г. Позняк.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 22.12.2024 06:33:13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
