|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Компактность | Компактность (далее К) (математическое), важное свойство множеств; множество называется компактным, если каждая бесконечная последовательность его элементов (точек) имеет хотя бы одну предельную точку. От К по отношению к объемлющему пространству отличают К в себе: множество (лежащее в определенном топологическом пространстве или являющееся само топологическим пространством) компактно в себе, если каждая бесконечная последовательность его элементов имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую тому же множеству.
В математическом анализе большое значение имеет принцип Вейерштрасса, утверждающий, что каждое ограниченное множество действительных чисел - компактно. Компактные множества функций играют фундаментальную роль в теории функций и функциональном анализе. Для того чтобы множество Е непрерывных (например, на сегменте (0,1) числовой прямой) функций было компактно (в пространстве С всех непрерывных на (0,1) функций), необходимо и достаточно, чтобы функции множества Е были ограничены в своей совокупности (одной и той же постоянной) и равностепенно непрерывны (см. Равностепенная непрерывность).
Компактное метрическое пространство называется компактом. Среди множеств, лежащих в евклидовых пространствах E n произвольного числа измерений, компактны в E n все ограниченные множества и только они; компактами (то есть компактными в себе множествами) среди них будут лишь замкнутые (и ограниченные) множества. В гильбертовом пространстве ограниченность недостаточна для компактности: сфера в гильбертовом пространстве некомпактна, хотя образует замкнутое и ограниченное множество. Компактом является так называемый фундаментальный параллелепипед гильбертова пространства, то есть множество всех точек этого пространства, координаты которых удовлетворяют условиям 0£ xn£ 1/2n. Все компакты (и среди всех топологических пространств только компакты) гомеоморфны (см. Гомеоморфизм) замкнутым множествам фундаментального параллелепипеда гильбертова пространства (теорема Урысона). Компакты конечной размерности и только они гомеоморфны замкнутым ограниченным множествам евклидовых пространств.
Для метрических пространств, а также для топологических пространств со счетной базой свойство К (в себе) эквивалентно свойству бикомпактности.
Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. -Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. - Л., 1937. |
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 22.12.2024 17:14:13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
