Волны

Волны (далее В) изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию. Например, удар по концу стального стержня вызывает на этом конце местное сжатие, которое распространяется затем вдоль стержня со скоростью около 5 км/сек; это — упругая В Упругие В существуют в твердых телах, жидкостях и газах. Звуковые В (см. Звук) и сейсмические волны в земной коре являются частными случаями упругих В К электромагнитным волнам относятся радиоволны, свет, рентгеновские лучи и др. Основное свойство всех В, независимо от их природы, состоит в том, что в виде В осуществляется перенос энергии без переноса вещества (последний может иметь место лишь как побочное явление). Например, после прохождения по поверхности жидкости В, возникшей от брошенного в воду камня, частицы жидкости останутся приблизительно в том же положении, что и до прохождения В   Волновые процессы встречаются почти во всех областях физических явлений; изучение В важно и для физики и для техники.   В могут различаться по тому, как возмущения ориентированы относительно направления их распространения. Так, например, звуковая В распространяется в газе в том же направлении, в каком происходит смещение частиц газа (рис. 1, а), в В, распространяющейся вдоль струны, смещение точек струны происходит в направлении, перпендикулярном струне (рис. 1, б). В первого типа называются продольными, а второго—поперечными.   В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому упругие деформации в жидкостях и газах могут распространяться только в виде продольных В ("В сжатия"). В твердых же телах, в которых упругие силы возникают также при сдвиге, упругие деформации могут распространяться не только в виде продольных В ("В сжатия"), но и в виде поперечных В ("В сдвига"). В твердых телах ограниченного размера (например, в стержнях, пластинках и т.п.) картина распространения В более сложна, здесь возникают еще и другие типы В, являющиеся комбинацией первых двух основных типов (подробнее см. Упругие волны).   В электромагнитных В направления электрического и полей почти всегда (за исключением некоторых случаев распространения в несвободном пространстве) перпендикулярны направлению распространения В, поэтому электромагнитные В в свободном пространстве поперечны.   Общие характеристики и свойства В В могут иметь различный вид. Одиночной В, или импульсом, называется сравнительно короткое возмущение, не имеющее регулярного характера (рис. 2, а). Ограниченный ряд повторяющихся возмущений называется цугом В Обычно понятие цуга относят к отрезку синусоиды (рис. 2, б). Особую важность в теории В имеет представление о гармонической В, т. е. бесконечной и синусоидальной В, в которой все изменения состояния среды происходят по закону синуса или косинуса (рис. 2, в); такие В могли бы распространяться в однородной среде (если амплитуда их невелика) без искажения формы (о В большой амплитуды см. ниже). Понятие бесконечной синусоидальной В, разумеется, является абстракцией, применимой к достаточно длинному цугу синусоидальных волн.   Основными характеристиками гармонической В являются длина В λ — расстояние между двумя максимумами или минимумами возмущения (например, между соседними гребнями или впадинами на поверхности воды) и период В Т — время, за которое частица среды совершает одно полное колебание. Таким образом, бесконечная В обладает строгой периодичностью в пространстве (что обнаруживается в случае, например, упругих В, хотя бы на моментальной фотографии В) и периодичностью во времени (что обнаруживается, если следить за движением во времени определенной частицы среды). Между длиной В λ и периодом Т имеется простое соотношение. Чтобы получить его, фиксируют внимание на частице, которая в данный момент времени находится на гребне В После ухода от нее гребня она окажется во впадине, но через некоторое время, равное λ/с, где с — скорость распространения В, к ней подойдет новый гребень, который в начальный момент времени был на расстоянии λ от нее, и частица окажется снова на гребне, как вначале. Этот процесс будет регулярно повторяться через промежутки времени, равные λ/с. Время λ /с совпадает с периодом колебания частицы Т, т. е. λ/с  = Т. Это соотношение справедливо для гармонической В любой природы.   Вместо периода Т часто пользуются частотой v, равной числу периодов в единицу времени: v = 1/Т. Между v и λ имеет место соотношение: λv  = с. (В технике обычно вместо v применяют обозначение f.) В теории В пользуются также понятием волнового вектора, по абсолютной величине равного k = 2π/λ = 2πv/c, т. е. равного числу В на отрезке 2π и ориентированного в направлении распространения В   Гармоническая В Амплитуда и фаза. В гармонической В изменения колеблющейся величины во времени происходит по закону синуса (или косинуса) и описывается в каждой точке формулой: = A sin 2πt/T (см. Колебания). Величина в положении равновесия принята равной нулю. А — амплитуда В, т. е. значение, которое эта величина принимает при наибольших отклонениях от положения равновесия. В любой другой точке, расположенной на расстоянии r от первой в направлении распространения В, колебания происходят по такому же закону, но с запозданием на время t1 = r/c, что можно записать в виде: = A sin (2π/T) (t-t1) = A sin (2π/T) (t-r/c).   Выражение (j = (2p/T) (t- r/c) называется фазой В Разность фаз в двух точках r1 и r2 равна: j2 - j1 = (2p/) (r2 - r1) = (2p/l) (r2 - r1).   В точках, отстоящих друг от друга на целое число В, разность фаз составляет целое число 2p, т. е. колебания в этих точках протекают синхронно — в фазе. Наоборот, в точках, отстоящих друг от друга на нечетное число полуволн, т. е. для которых r2 - r1 = (2 - 1)l/2, где = 1, 2..., разность фаз равна нечетному числу p, т. е. j2 - j1 = (2 - 1)p. Колебания в таких точках происходят в противофазе: в то время, как отклонение в одной равно А, в другой оно обратно по знаку, т. е. равно — А и наоборот.   Распространение В всегда связано с переносом энергии, который можно количественно характеризовать вектором потока энергии 1. Этот вектор для упругих В называется вектором Умова (по имени русского ученого А. А. Умова, введшего это понятие), для электромагнитных — вектором Пойнтинга. Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а абсолютная величина равна энергии, переносимой В за единицу времени через площадку 1 см2, расположенную перпендикулярно вектору . При малых отклонениях от положения равновесия = КА, где К — коэффициент пропорциональности, зависящий от природы В и свойств среды, в которой В распространяется.   Поверхности равных фаз, фронт В Важной характеристикой В является вид поверхностей равных фаз, т. е. таких поверхностей, в любой точке которых в данный момент времени фазы одинаковы. Форма поверхности равной фазы зависит от условий возникновения и распространения В В простейшем случае такими поверхностями являются плоскости, перпендикулярные направлению распространения В, а В называется плоской. В, у которых поверхностями равных фаз являются сферы и цилиндры, называются соответственно сферическими и цилиндрическими. Поверхности равных фаз называются также фронтами В В случае конечной или одиночной В фронтом называется передний край В, непосредственно граничащий с невозмущенной средой.   Интерференция В При приходе в данную точку среды двух В их действие складывается. Особо важное значение имеет наложение так называемых когерентных В (т. е. В, разность фаз которых постоянна, не меняется со временем). В случае когерентности В имеет место явление, называемое интерференцией: в точках, куда обе В приходят в фазе, они усиливают друг друга; в точках же, куда они попадают в противофазе, — ослабляют друг друга. В результате получается характерная интерференционная картина (см., например, рис. 3). См. также Интерференция света, Когерентность.   Стоячие В, собственные колебания. При падении плоской В на плоское же отражающее препятствие возникает отраженная плоская В Если при распространении В в среде и при отражении их от препятствия не происходит потерь энергии, то амплитуды падающей и отраженной В равны между собой. Отраженная В интерферирует с падающей В, в результате чего в тех точках, куда падающая и отраженная В приходят в противофазе, результирующая амплитуда падает до 0, т. е. точки все время остаются в покое, образуя неподвижные узлы колебаний, а в тех местах, где фазы В совпадают, В усиливают друг друга, образуя пучности колебаний. В результате получается так называемая стоячая В (рис. 4). В стоячей В поток энергии отсутствует: энергия в ней (при условии, что потерь нет) перемещается только в пределах, ограниченных смежными узлом и пучностью.   Стоячая В может существовать также и в ограниченном объеме. В частности, в случае, изображенном на рис. 4, на месте ВВ можно вообразить себе такое же препятствие, что и справа. Между двумя стенками будет существовать стоячая В, если расстояние между ними равно целому числу полуволн. Вообще стоячая В может существовать в ограниченном объеме лишь в том случае, если длина В находится в определенном соотношении с размерами объема. Это условие выполняется для ряда частот v1, v2, v3,..., называется собственными частотами данного объема.   Дифракция. При падении В на непрозрачное для нее тело или на экран позади тела образуется теневое пространство (заштриховано на рис. 5, а и 5, б). Однако границы тени не резки, а размыты, причем размытость увеличивается при удалении от тела. Это явление огибания тела В называется дифракцией. На расстояниях порядка d2/l от тела, где d — его поперечный размер, тень практически полностью смазана. Чем больше размеры тела, тем большее пространство занимает тень. Тела, размеры которых малы по сравнению с длиной В, вообще не создают тени, они рассеивают падающую на них В во всех направлениях. Изменение амплитуды В при переходе из "освещенной" области в область тени происходит по сложному закону с чередующимися уменьшением и увеличением амплитуды (рис. 6, а и 7), что обусловлено интерференцией В, огибающих тело.   Дифракция имеет место также при прохождении В через отверстие (рис. 5, б и 6, б), где она также выражается в проникновении В в область тени и в некотором изменении характера В в "освещенной" области: чем меньше диаметр отверстия по сравнению с длиной В, тем шире область, в которую проникает В См. также Дифракция света.   Поляризация В Как уже сказано, плоскость, в которой происходят колебания поперечной В, перпендикулярна направлению распространения. Эта особенность поперечных В обусловливает возможность возникновения явления поляризации, которая заключается в нарушении симметрии распределения возмущений (например, смещений и скоростей в механических В или напряженностей электрических и полей в электромагнитных В) относительно направления распространения. В продольной В, в которой возмущения всегда направлены вдоль направления распространения В, явления поляризации возникнуть не могут.   Если колебания возмущения Е происходят все время в каком-то одном направлении (рис. 8, а), то имеет место простейший случай линейно-поляризованной, или плоско-поляризованной В Возможны и другие, более сложные типы поляризации. Например, если конец вектора Е, изображающего возмущение, описывает эллипс или окружность в плоскости колебаний (рис. 8, б), то имеет место эллиптическая или круговая поляризация. Скорость распространения поперечных В может зависеть от состояния поляризации.   Поляризация может возникнуть: из-за отсутствия симметрии в возбуждающем В излучателе, при распространении В в анизотропной среде (см. Анизотропия), при преломлении и отражении В на границе двух сред. Подробнее см. Поляризация света.   Отражение и преломление В При падении на плоскую границу раздела двух разных сред плоская В частично отражается, частично проходит в другую среду, оставаясь плоской, но меняет при этом свое направление распространения (преломляется) (рис. 9, а). Углы, образуемые направлениями падающей, отраженной и преломленной В (рис. 9, б) с перпендикуляром к границе раздела сред, называются соответственно углом падения a, углом отражения a1 и углом преломления a2. Согласно закону отражения, угол падения равен углу отражения, т. е. a = a1. Согласно закону преломления, синус угла падения относится к синусу угла преломления, как скорость в первой среде к ее скорости во второй среде, т. е.: sin a/sin a2 = с1/с2 = n, где n — показатель преломления (см. также Отражение света, Преломление света).   Смесь В с различными состояниями поляризации, распространяющаяся в одном и том же направлении, разделится, попадая в среду, в которой скорость распространения зависит от состояния поляризации; В, поляризованные различно, пойдут по разным направлениям (двойное лучепреломление). Во многих случаях скорость распространения зависит также от частоты колебаний (дисперсия, см. ниже); в этих случаях смесь В с различными частотами при преломлении разделится. При отражении расходящейся (сферической или цилиндрической) В под малыми углами к плоской границе раздела двух сред возникают некоторые особенности. Наиболее важна та, когда скорость c2 в нижней среде больше, чем c1 в верхней среде (рис. 10), тогда, кроме обычной отраженной В, которой соответствует луч ОАР, возникает так называемая боковая В Соответствующий ей луч OSDP часть своего пути (отрезок SD) проходит в среде, от которой происходит отражение.   Форма В Дисперсия и нелинейность В В процессе распространения В ее форма претерпевает изменения. Характер изменений существенно зависит от первоначальной формы В Лишь бесконечная синусоидальная (гармоническая) В (за исключением В очень большой интенсивности) сохраняет свою форму неизменной при распространении, если при этом она не испытывает заметного поглощения. Но всякую В (любой формы) можно представить как сумму бесконечных синусоидальных В разных частот (как говорят, разложить в спектр). Например, одиночный импульс можно представить, как бесконечную сумму наложенных друг на друга синусоидальных В Если среда, в которой распространяются В, линейна, т. е. ее свойства не меняются под действием возмущений, создаваемых В, то все эффекты, вызываемые негармонической В, могут быть определены как сумма эффектов, создаваемых в отдельности каждой из ее гармонических составляющих (так называемый суперпозиции принцип).   В реальных средах нередко скорости распространения синусоидальных В зависят от частоты В (так называемая дисперсия волн). Поэтому негармоническая В (т. е. совокупность гармонических В различных частот) в процессе распространения меняет свою форму вследствие того, что при распространении этих гармонических В соотношение между их фазами меняется. Искажение формы В может происходить и при дифракции и рассеянии негармонических В, так как оба эти процесса зависят от длины В и поэтому для гармонической В разной длины дифракция и рассеяние будут происходить по-разному. При наличии дисперсии изменение формы негармонической В может происходить также в результате преломления В Однако иногда может искажаться и форма гармонической В Это происходит в тех случаях, когда амплитуда распространяющейся В достаточно велика, так что уже нельзя пренебрегать изменениями свойств среды под воздействием В, т. е. когда сказываются нелинейные свойства среды. Искажения формы синусоидальной В могут выразиться в том, что "горбы" В (области больших возмущений) распространяются со скоростью, превышающей скорость распространения остальных участков В, в результате чего синусоидальная форма В превращается в пилообразную (рис. 11). В нелинейной среде существенно изменяются и другие законы распространения В — в частности, законы отражения и преломления. Подробнее см. Нелинейная оптика.   Фазовая и групповая скорости В Введенная выше скорость В называется фазовой скоростью, это скорость, с которой перемещается какая-нибудь определенная фаза бесконечной синусоидальной В (например, фаза, соответствующая гребню или впадине), фазовая скорость В входит, в частности, в формулу закона преломления. Однако на опыте имеют дело с В не в виде бесконечных синусоид, называемых также монохроматическими В, для которых только и имеет смысл понятие фазовой скорости, а с ограниченными В Как уже было указано, любая ограниченная В может быть представлена в виде наложения большого (точнее — бесконечно большого) числа монохроматических В различных частот. Если фазовые скорости В всех частот одинаковы, то с этой же скоростью распространяется и вся совокупность, или группа, В Если же эти скорости не одинаковы, т. е. имеет место дисперсия, то вопрос о скорости распространения ограниченной. В усложняется. Английским физиком Дж. У. Рэлеем было показано, что если ограниченная В составляется из В, частоты которых мало отличаются друг от друга, то эта В, или как ее часто называют волновой пакет, распространяется с определенной скоростью, называемой групповой скоростью. Групповая скорость u вычисляется по формуле: u = с - λdc/dλ. С групповой скоростью происходит также перенос энергии В   Изменение частоты В при движении источника или наблюдателя (эффект Доплера). Наблюдатель, движущийся по направлению к источнику В (любого вида), воспринимает несколько повышенную частоту по сравнению с неподвижным наблюдателем, между тем как наблюдатель, удаляющийся от источника В, воспринимает пониженную частоту. Аналогичное явление (качественно) имеет место также, когда наблюдатель неподвижен, а источник В движется. Это явление называется Доплера эффектом.   В и лучи. Линия, направление которой в каждой точке совпадает с направлением потока энергии в В, называется лучом (рис. 9, б). В изотропной среде это направление совпадает с направлением нормали к фронту В Плоской В соответствует параллельный пучок прямолинейных лучей, сферической В — радиально расходящийся пучок и т.д. При некоторых условиях сложный расчет распространения В можно заменить более простым расчетом формы лучей. Этим пользуются в геометрической акустике и геометрической оптике. Такой упрощенный подход применим, когда длина В достаточно мала по сравнению с некоторыми характерными размерами, например размерами препятствий, лежащих на пути распространения В, поперечными размерами фронта В, расстояний до точки, в которой сходятся В, и т.п.   Излучение и распространение В Для излучения В необходимо произвести в среде некоторое возмущение за счет внешнего источника энергии. Работа, совершаемая этим источником, за вычетом некоторых потерь превращается в энергию излучаемых В Так, например, мембрана телефона или диафрагма громкоговорителя, получая энергию от электроакустического преобразователя, излучает звуковые В Излучение В производится всегда источниками ограниченных размеров, в результате чего возникает "расходящаяся" В Только на достаточно большом расстоянии от источника эту В можно принять за плоскую.   Несмотря на разную природу В, закономерности, которыми определяется их распространение, имеют между собой много общего. Так, упругие В в однородных жидкостях (газах) или электромагнитные В в свободном пространстве (а в некоторых случаях и в пространстве, заполненном однородным изотропным диэлектриком), возникающие в какой-нибудь малой области ("точке") и распространяющиеся без поглощения в окружающем пространстве, подчиняются одному и тому же волновому уравнению.   Особого вида излучение В имеет место при движении в среде тел со скоростями, большими, чем фазовые скорости В в этой среде. Электрон, движущийся в какой-либо среде со скоростью, большей, чем фазовая скорость электромагнитных В, в этой среде излучает В (Черенкова — Вавилова излучение), при движении же со скоростью, меньшей фазовой скорости света в среде, это движение сопровождается лишь простым перемещением электрического и полей без перехода энергии движения в энергию излучения. Аналогично этому самолет, движущийся со скоростью, большей скорости звука, излучает звуковую В особого вида — ударную волну, и теряет на это определенную часть энергии. Излучением В такого же происхождения, распространяющихся по поверхности воды, объясняется появление волнового сопротивления при движении корабля.   Другие виды В Известны также: а) температурные В, распространяющиеся в окрестности переменного во времени источника тепла; б) вязкие В — поперечные (быстро затухающие) В в вязкой жидкости; в) волны де Бройля, которыми в квантовой механике описывается поведение микрочастиц; г) гравитационные волны, излучаемые движущимися с ускорением массами.   Лит.: Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959; Красильников В А., Звуковые и ультразвуковые волны в воздухе, воде и твердых телах, 3 изд., М., 1960; Бреховских Л. М., В в слоистых средах М., 1957.   Л. М. Бреховских.